궁금증2. 표본분산은 왜 n-1로 나누어 주는가?

---

궁금증1 에서 우리는 자유도에 대한 개념을 알게되었다.

 

'표본평균은 자유도가 n이기 때문에, 표본분산 자유도가 n-1이기 때문에 나누어 주는건 알겠는데 그게 뭐 어쩌라고?'

 

라는 생각이 먼저 들것이다. 이게 무슨 의미가 있기는 한데... 그 의미에 대해서 설명하려고 한다.

 

이를 설명하기 위해 우리는 불편성(Unbiased)에 대한 개념을 알아야 한다.

 

모수(parametor)를 알기하기 위해 우리는 샘플을 뽑아 통계학이라는 이론에 기대어 모수를 추정하는 작업을 할 것이다.

 

만약에....

 

통계학 이론없이 전수조사를 통해 모평균과 모분산을 구하는 경우에는 자유도의 개념이 필요하지 않다.

모평균은 n으로 나눠주고 모분산도 n으로 나눠주면 된다. 왜냐면 그게 곧 우리가 구하고자 했던 parameter였으니까!!!

하지만... 우리는... 다~ 조사할 수가 없으니까...

모수의 평균을 추정하기 위해서 표본평균(sample mean)을 구할 것이다.

또한, 모수의 분산을 추정하기 위해서 표본평균의 분산을 구할 것이다.

전수조사가 아닌 표본조사를 하는 경우에는 1편에서 배운 자유도를 이용해야 한다.

---

불편성을 논하기 전에 평균을 두가지 관점에서 접근하자.

(이것은 통계학 공부시 헷깔린 부분이므로 항상 두가지로 접근을 한다는 것을 유의하자)

1. 대수적 접근 : 우리가 보통알고있는 접근방법

2. 통계학적 접근 : 확률변수를 이용하여 접근하는 방법

 

 

---

이제 불편성을 정의하자.

 

표본평균의 불편성

 

---

즉, 표본평균의 기대값이 파라미터(모평균)가 되어야 한다.

 

평균에서는 자유도는 분모 n이고 표본평균의 기대값이 모평균이 된다

 

하지만 분산에서 자유도를 n-1을 넣어야 모분산이 된다. 

 

유도는 생각보다 쉬우니 "check yourself!!"

---

 

 

즉, 자유도는 앞으로 회귀분석, 분산분석(Anova), 카이제곱검정 등 전통적인 통계학 이론에서 지속적으로 등장하게 되니 피할 수 없다. 시간이 되면 다른분석에 대해 자유도 관점으로 글을 작성하겠다.